原问题
 ：白矮星存在品质下限？《张背阴的白矮物理课》合计钱德拉塞卡极限

白矮星为甚么存在品质下限 ？为甚么合计白矮星外部压强需要运用狭义相对于论 ？9月3日12时
，《张背阴的星存下限物理课》第一百七十期开播 ，搜狐独创人 、品质董事局主席兼CEO、张背物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，物理在重大温习上次直播课介绍的课合内容后，指出了上次直播课的计钱极限合计所漠视的狭义相对于论因素
，导致合计的德拉电子简并压过大
。

在思考狭义相对于论的白矮情景下 ，张背阴类比薛定谔方程给出了相对于论性粒子的星存下限克莱恩-高登方程，并由此患上悉在非相对于论情景下的品质电子k空间的论断依然运用
，惟独要更正压强公式即可。张背随后 ，物理他合计了相对于论情景下的课合电子简并压，并与坚持白矮星失调的计钱极限所需压强做比力，最终患上到了白矮星的品质下限。

为甚么合计白矮星外部压强需要思考相对于论效应

在上一次物理直播课中
，张背阴估算了失调形态下的白矮星中间压强
 ，服从为

其中 
，G是万有引力常数，R是白矮星半径，M是白矮星总品质。同时 ，张背阴还估算了确定品质与半径的情景下的白矮星中间处电子简并压为

其中β是一个与M、R无关的常数。

在上次直播课中，张背阴合成患上悉白矮星会失调在知足Pg=Pd的半径R0处 。从这前面两个服从可能看到 ，当M坚持牢靠时
，Pd随着R的增大会着落患上比Pg快，因此当R饶富大时 ，Pd会小于Pg；另一方面 ，当R趋向于0时，Pd将会大于Pg。因此
，在压强-半径坐标系上 ，Pd与Pg曲线确定相交，如下图所示：

假如漠视电子与质子的反映，那末Pd与Pg曲线相交象征着不论品质多大，白矮星最终都可能晃动失调存在 。可是，事实中白矮星存在一个品质下限
，这个品质下限便是钱德拉塞卡极限 ，约莫是1.44倍太阳品质。

凭证上一次直播课的合成 ，当白矮星品质为一个太阳品质时，电子所占有的空间尺度约莫在1500fm
 ，这个尺度下电子很难与质子反映酿成中子以及中微子 。凭证同样的合成，当白矮星品质是1.44个太阳品质时，电子所占有的尺度约莫在1200fm  ，这个尺度依然很难让电子以及质子反映 。那末，事实是甚么原因导致了白矮星的品质下限呢 ？

张背阴揭示 ，事实上在合计电子气体时不思考相对于论效应 。由于电子气体的压强本性上是电子对于容器壁的碰撞所导致的力的天气。在同样的动量巨细下，碰撞粒子数越多 ，所展现进去的压强越大。

可是，碰撞频率正比于粒子速率，而在相对于论的情景下 ，由于粒子质质变大了，以是具备特定动量的粒子所对于应的速率是小于牛顿力学情景下的具备相革命量的粒子所对于应的速率的  ，因此在相革命量情景下 ，用牛顿力学来合计的粒子碰撞频率高于用相对于论来合计的碰撞频率，最终就会导致用牛顿力学合计进去的压强偏大 。

前面会知道，假如思考（极其）相对于论天气的话 ，Pd与R的关连为

先不思考白矮星是否处于失调形态，那末在相同品质下，白矮星的半径越小 
，其外部电子气体的密度越大 ，从而费米能越高。因此，半径越小 ，越偏离牛顿力学 ，从而也越挨近于极审察对于论给进去的服从 。

换言之，上式在R越小的时候适宜患上越好。在R趋向于零时，Pg正比于1/R^4 ，Pd也正比于1/R^4，这就导致了在压强-半径坐标系上
，Pg曲线与Pd曲线可能不交点，特意是当Pg大于Pd时，不论奈何样缩短白矮星，电子气体都无奈提供饶富的简并压来抵抗引力缩短，于是白矮星会被有限缩短
。

尽管 ，实际情景并不会被有限缩短
，由于当白矮星被缩短到确定水平后 ，电子与质子会爆发反映 ，白矮星会酿成中子星 ，这时候就患上看中子简并压是否抵抗引力缩短了。

引入克莱恩-高登方程 合成k空间的异同

为了合计相对于论天气的电子气体压强 ，需要先知道逍遥的相对于论粒子其波函数知足的方程 。回顾薛定谔方程的“导出”历程，动量与能量作如下交流：

再凭证牛顿力学中的动能表白式

就会患上到逍遥粒子的薛定谔方程：

假如思考相对于论的能量动量关连

那末会患上到如下方程 ：

移项并化简可患上

这便是相对于论性逍遥粒子所需要知足的方程，被称为克莱恩-高登方程。尽管有自旋的逍遥粒子的根基方程不是克莱恩-高登方程  ，可是都能进化回克莱恩-高登方程
，因此克莱恩-高登方程是一个普遍建树的方程  。假如粒子的行动品质为零，那末上述方程就会回到从前介绍过的晃动方程 ：

克莱恩-高登方程的平面波解为

将其代入方程，可知ω以及k需要知足

上式中的k是矢量k的巨细。曩昔面能量E以及动量p的交流关连可能知道 ，此平面对于应的能量与动量分说为

于是，由前一款式可能患上到

这正是相对于论性粒子的能量与动量所知足的关连。

（张背阴介绍克莱恩-高登方程及其平面波解）

假如思考有限深势阱，求解克莱恩-高登方程的话依然会患上到如下方式的解

因此，相对于论性逍遥电子的k空间与非相对于论天气的k空间是同样的，因此在合计电子总数以及电子压强时  ，都是对于同样的k空间中的1/8球体妨碍积分 。仅有纷比方样的中间是，假如波及到能量了 ，就需要思考如下的关连
：

合计相对于论性电子气体压强 合成患上到钱德拉塞卡极限

纵然在相对于论天气下，单元面积单元光阴内电子碰撞容器壁导致的动量修正都展现为压强 。与非相对于论天气相似
，单元光阴内碰撞容器壁（设面积为A）所导致的动量修正成

上式假如了容器壁垂直于x轴并与y轴重合，电子扩散在x轴负倾向那一侧，因此需要v_x>0的电子能耐碰上这块容器壁 。n_{ v_x}是速率的x份量为v_x的电子数密度 。上式的求以及在需要的情景下需要清晰为积分。

对于压强
，惟独要将上式除了以A即可患上到。由于速率扩散在正负倾向是同样的 ，因此有

在相对于论情景下 ，电子品质会依赖于速率巨细v ：

因此，品质m不光依赖于v_x
 ，还依赖于v_y
、v_z，因今前面对于压强的表白式理当写为

另一方面，凭证动量p与k的关连 ，有

因此有

思考到v_x与k_x的关连 ，借助从前在k空间上的合成，可能知道n_{ v_x}为

其中L是立方形貌器的边长 ，V=L^3是容器体积。由此可患上压强为

上式第一行等号右侧的因子2源头于电子自旋的两个逍遥度，因子1/8源头于k空间的1/8球体。

思考到空间各向异性，上式可能改写为

上式第二即将直角坐标的积分换成为了球坐标下的积分，并将角度部份积分进去了。

凭证质能关连，有

由此可患上

以是

令a=m0*c/ℏ，借助积分公式

可患上

由于思考的是白矮星半径趋向于零的情景（暂不论白矮星是否处于失调形态） ，此时电子气体的密度很大。凭证以前的直播课 ，知道

可见，当白矮星半径趋向于零时，k0可能取到颇为大的值
，这时候k0将远远大于a（这种情景就对于应着极审察对于论的情景）。这样的话 ，前面的积分成果中的清晰项是k0的最高次项，于是

以是 ，患上到

于是  ，在极审察对于论的情景下，电子气体的压强为

思考到

于是

凭证上一次直播课的推导
，白矮星中间处的电子数密度约为

其中α是上一次直播课介绍的系数 ，可能取为2，m_p是质子品质。将其代入前面的压强公式 ，可能患上到白矮星中间处的电子简并压为

需要夸张的是，由于前面运用了k0远大于a这个类似条件，以是这个款式只在R很小的时候才建树 ，它展现的是在品质M坚持牢靠时 ，半径R趋向于0时白矮星中间处的电子简并压的变更情景。

对于R比力大的时候 ，k0远大于a这个条件再也不建树
。特意的是
，当R很大时 ，电子数密度n很小 ，这时候电子气体进化成非相对于论电子气体
，其简并压知足的是正比于1/(R^5)的关连。将这里的品评辩说总结起来便是：

而不论R是大仍是小 ，坚持白矮星失调所需的中间压强都是

假如在R比力小的时候 ，Pg小于Pd，当R变大之后 ，Pd先以1/(R^4)的速率着落，而后以1/(R^5)的速率着落，而Pg坚持以1/(R^4)的速率着落 ，最终Pd必小于Pg，因此在压强-半径坐标系上，Pd与Pg曲线确定相交 ，这样的话白矮星可能坚持失调，失调点就对于应着Pd与Pg曲线交点
。

假如在R比力小的时候 ，Pg大于Pd，当R变大之后 ，Pd先以1/(R^4)的速率着落 ，而后以1/(R^5)的速率着落 ，Pg坚持以1/(R^4)的速率着落，可见Pg曲线永世在Pd曲线上方 ，它俩不相交点（如下图所示），因此不论半径为多少多，电子简并压都无奈提供饶富的压强抵抗白矮星塌缩。

曩昔面的服从可能看到 ，在R饶富小时 ，Pd正比于M^{ 4/3}，Pg正比于M^2，因此当M增大时，统一个R下的Pg削减速率大于Pd的削减速率。因此，惟独M饶富大，Pg将会大于Pd ，于是这个品质对于应的白矮星将无奈晃动存在。那白矮星的临界品质是多少多呢 
？临界品质对于应于Pg偏偏即是Pd时的品质，换言之

由此可能患上到临界品质知足

（张背阴合计极审察对于论性电子气体简并压及白矮星极限品质）

代入相关数值，可患上

以是

这便是白矮星的品质下限 ，约莫是1.6倍的太阳品质 。尽管 ，这里的服从是类似患上到的，因此与实际服从（1.44倍）存在一点差距 。

据清晰，《张背阴的物理课》于每一周五、周日三更12时在搜狐视频直播 ，网友可能在搜狐视频APP“关注流”中搜查“张背阴” ，旁不雅直播及往期残缺视频回放；关注“张背阴的物理课”账号，魔难课程中的“知识点”短视频；此外 ，还可能在搜狐往事APP的“搜狐科技”账号上，阅览每一期物理课程的详细文章
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